Окружность

Окру́жность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Содержание

Связанные определения

  • Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом окружности.
  • Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
  • Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
  • Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
  • Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
  • Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.
  • Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  • Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей.
  • Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.
  • Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
  • Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
  • Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от величины диаметра и для всех окружностей одинаково. Это отношение является числом π

Свойства окружности

  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
  4. Длину окружности радиуса R можно вычислить по формуле C = 2πR.

Уравнения

Декартовы координаты

Окружность с центральной точкой M = ( xM , yM ) и радиусом r описывается следующим уравнением:

\left( x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M \right)^2 = r^2

если M есть начало координат, то уравнение принимает вид:

x2 + y2 = r2.

Полярные координаты

Если полярные координаты центра окружности M = (r,α), то окружность описывается уравнением:

\rho(\varphi)=2r\cos (\varphi-\alpha), 0\leq\varphi<2\pi

если M есть начало координат, то уравнение будет иметь вид:

ρ = r.

Комплексная плоскость

На комплексной плоскости окружность задается формулой:

|z - z_0| = r\,

или в параметрическом виде

z0 + rexp(it), t\in\R.

Как график

Окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

y = y_M \pm \sqrt{r^2 - (x - x_M )^2}.

если yM = xM = 0, то функции принимают вид:

y = \pm \sqrt{r^2 - x^2 }.

Параметрическое представление

Другую возможность описать окружность с помощью координат дает параметрическое представление:

x = x_M + r \cos \varphi
y = y_M + r \sin \varphi

здесь координаты x и y выражаются через параметр \varphi, который может принимать все значения в диапазоне 0 \le \varphi < 2 \pi.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home