Теория Морса

Тео́рия Мо́рса — общее название теорий, основывающихся на идеях Морса (Morse) и описывающих связь алгебро-топологических свойств топологического пространства с критическими точками гладкой функции (функционалов) на нём.

Теория Морса является разделом вариационного исчисления в целом; однако последнее шире: например, оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерника — Шнирельмана.

Основные результаты

  • Лемма Морса
  • Если множество f − 1([a,b]) компактно, не пересекается с краем многообразия M и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса k, то f − 1(b) диффеоморфно многообразию, полученному из f − 1(a) приклеиванием ручки индекса k, см хирургия. В частности,
    • Если M — замкнутое гладкое многообразие, обладающее функцией с ровно двумя критнческими точками (причем обе невырожденные), то M получается гладкой склейкой двух шаров по их общей границе и потому гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере Sn.
  • Каждой функции Морса f на гладком многообразии M (без края) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию M клеточное пространство, клетки которого находятся в биективном соответствии с критическими точками функции f, причем размерность клетки равна индексу соответствующей критической точки. Отсюда непосредственно следуют неравенства Морса

Литература

  • Милнор, Дж., Теория Морса 1965, 184 с.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home