Распределение Парето

Распределение Парето
Плотность вероятности

xm = 1
Функция распределения

xm = 1
Параметры x_{m}>0\, - коэффициент сдвига
k>0\,
Носитель x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!
Функция распределения 1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!
Математическое ожидание \frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\!, если k > 1
Медиана x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}
Мода x_\mathrm{m}\,
Дисперсия \frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\! for k > 2
Коэффициент асимметрии \frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\! for k > 3
Коэффициент эксцесса \frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\! for k > 4
Информационная энтропия \ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!
Производящая функция моментов не определена
Характеристическая функция k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,


Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть случайная величина X такова, что её распределение задаётся равенством:

\mathbb{P}(X > x) = \left(\frac{x}{x_m}\right)^{-k},\; \forall x \ge x_m,

где xm,k > 0. Тогда говорят, что X имеет распределение Парето с параметрами xm и k. Плотность распределения Парето имеет вид:

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\ 0, & x < x_m \end{matrix} \right..

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{kx_m^n}{k-n},

откуда в частности:

\mathbb{E}[X] = \frac{kx_m}{k-1},
\mathrm{D}[X] = \left(\frac{x_m}{k-1}\right)^2 \frac{k}{k-2}.
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home