Биномиальное распределение

Биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры n \geq 0 - число «испытаний»
0\leq p \leq 1 - вероятность «успеха»
Носитель k \in \{0,\dots,n\}\!
Функция вероятности C_n^k\, p^k q^{n-k} \!
Функция распределения I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Математическое ожидание np\!
Медиана одно из \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
Мода \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Дисперсия npq\!
Коэффициент асимметрии \frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!
Коэффициент эксцесса \frac{1-6pq}{npq}\!
Информационная энтропия
Производящая функция моментов (q + pe^t)^n \!
Характеристическая функция (q + pe^{it})^n \!


Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностейраспределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

Содержание

Определение

Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.

Построим случайную величину Y:

Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i.

Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности X_1,\ldots, X_n, имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем: Y \sim \mathrm{Bin}(n,p). Её функция вероятности даётся формулой:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = C_n^k\, p^k q^{n-k},\; k=0,\ldots, n,

где C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \, k!}биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leq y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} C_n^k\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R},

где \lfloor y \rfloor обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции:

F_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y \le k ) = I_{1-p}(n-k,k+1).

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n,

откуда

\mathbb{E}[Y] = np,
\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np ),

и

D[Y] = npq.

Свойства биномиального распределения

  • Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p) и Y2˜Bin(n,1 − p). Тогда p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k).
  • Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p) и Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p). Тогда Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p).

Связь с другими распределениями

  • Если n = 1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
  • Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы \mathrm{Bin}(n,p) \approx N( np, npq ), где N(np,npq)нормальное распределение.
  • Если n большое, а λ — фиксированное число, то \mathrm{Bin}(n, \lambda / n) \approx \mathrm{P}(\lambda), где P(λ)распределение Пуассона с параметром λ.
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home