Аксиоматика теории множеств

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Эти аксиомы были разработаны Торальфом Сколемом (Thoralf Skolem) в 1922 году, и являются развитием системы аксиом Адольфа Френкеля (Adolf Fraenkel), которая, в свою очередь, была развитием системы аксиом Эрнста Цермело (Ernst Zermelo).

Аксиомы ZFC

1. Аксиома объёмности. Два множества a и b равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.

\forall a \forall b (a=b \leftrightarrow \forall c (c \in a \leftrightarrow c \in b))

2. Аксиома пустого множества. Существует множество e без единого элемента. Это множество обычно обозначается {} или \emptyset.

\exists e \forall a (a \notin e)

3. Аксиома пары. Для любых множеств a и b существует множество c такое, что a и b являются его единственными элементами. Множество c обозначается {a,b} и называется неупорядоченной парой a и b. Если a = b, то c состоит из одного элемента.

\forall a \forall b \exists c \forall d (d \in c \leftrightarrow (d=a \vee d=b))

4. Аксиома объединения. Для любого семейства a множеств существует множество b = \cup a, называемое объединением множества a, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества a.

\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow \exists d (d \in a \wedge c \in d))

5. Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4 предоставляют ограниченные возможности для формирования новых множеств. Так, по теореме Кантора во множестве \mathcal{P}(a) имеется элемент, не принадлежащий a, поэтому, например, не существует «множества всех множеств» (парадокс Рассела). Далее введём определение: множество называется индуктивным, если оно а) содержит пустое множество и б) содержит последователь (то есть элемент a \cup \{a\}) каждого своего элемента. Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.

\exists \omega (\emptyset \in \omega \wedge \forall x (x \in \omega \rightarrow x \cup \{x\} \in \omega))

6. Схема выделения. Любому множеству a и свойству \varphi отвечает множество b, элементами которого являются те и только те элементы a, которые обладают свойством \varphi. Схема выделения содержит счётное количество аксиом, так как каждая формула \varphi(x) логики первого порядка порождает аксиому.

\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow (c \in a \wedge \varphi(c)))

7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества a существует множество b, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества a. Множество подмножеств множества a обозначается \mathcal{P}(a).

\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow \forall d (d \in c \rightarrow d \in a))

Если ввести отношение подмножества \subseteq, то эту формулу можно упростить.

\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow c \subseteq a)

8. Схема подстановки. Пусть \varphi(x, y) - такая формула, что при любом x0 из множества X существует, и притом единственный, объект y0 такой, что выражение \varphi(x_0,y_0) истинно. Тогда объекты c, для каждого из которых существует d из X такой, что \varphi(d, c) истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула \varphi(x,y) порождает аксиому.

\forall x \exist!\ y (\varphi(x, y)) \rightarrow \forall a \exist b \forall c (c \in b \leftrightarrow (\exist d (d \in a \wedge \varphi(d, c)))

9. Аксиома основания. Каждое непустое множество s содержит элемент a такой, что s \cap a = \emptyset.

\forall s (s \neq \emptyset \rightarrow \exists a (a \in s \wedge a \cap s = \emptyset))

10. Аксиома выбора. Для любого семейства попарно непересекающихся непустых множеств существует множество c такое, что, каково бы ни было множество x данного семейства, множество x \cap c состоит из одного элемента.

Непротиворечивость приведённой аксиоматики на настоящий момент не установлена.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home