Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор — система, описываемая уравнением \ddot{x} + \omega^2 x = 0. Основные примеры осцилляторов: маятник, тело на пружине, колебательный контур.


Гармонический осциллятор в квантовой механике

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Гамильтониан квантового осциллятора выглядит так:

\! \hat{H} = 1 / 2 * ({\hat{p}}^2 + \omega^2\hat{q}^2)

В координатном представлении \hat p=-i\hbar\partial/\partial x , \hat q =x. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+\frac{\omega^2 x^2}{2}\psi(x)=E\psi(x)

имеет решение в классе функций интегрируемых с квадратом (грубо говоря, убывающих на бесконечности).

Операторы рождения и уничтожения

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения.

оператор рождения

\! {a}^+ = 1 / \sqrt{2 \hbar \omega} * ({p} + {i} \omega {q})

оператор уничтожения

\! {a} = 1 / \sqrt{2 \hbar \omega} * ({p} - {i} \omega {q})

коммутационное соотношение (квантовые скобки Пуассона) между ними

\! [a, {a}^+] = {a}{a}^+ - {a}^+{a} = {i} / \hbar * ({p}{q} - {q}{p}) = 1

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

\! H = \hbar\omega({a}^+{a}+1/2).

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home