Неприводимый многочлен

Неприводимый многочленмногочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. В кольце многочленов неприводимые многочлены играют роль сходную с простыми числами в кольце целых чисел.

Общее определение

Неприводимый многочлен над полем kмногочлен p(x1,x2,..,xn) от n переменных над полем k, являющийся простым элементом кольца k[x1,x2,..,xn], то есть непредставимый в виде произведения p = qr, где q и r ― многочлены с коэффициентами из k, отличные от константы. Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени, например любой многочлен вида

p(x1,x2,..,xn − 1) + xn

абсолютно неприводим.

Свойства

  • Кольцо многочленов k[x1,x2,..,xn] факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
  • Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
  • Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен xn + px + p, где n > 1 и p ― некоторое простое число, неприводпм в силу критерия Эйзенштейна.
  • Предположим A ― целозамкнутое кольцо с полем частных k (например A=\Z и k=\mathbb Q) и p\in A[x] ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда p = qr в k[x], причем q и r имеют старший коэффициент 1, то q,r\in A[x].
  • Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности \sigma:A\to B. Если степень многочлена σ(p) совпадает со степенью многочлена p и σ(p) неприводим над полем частных области B, то не существует разложения p = qr, где p, r\in A[x] и отличны от константы.
    • Например, многочлен p со старшим коэффициентом 1 прост в \Z[x] (и, следовательно, неприводим в \mathbb Q[x]), если прост многочлен σ(p), полученный из p редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Литература

  • Вандер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
  • Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
  • Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home