Борелевская сигма-алгебра

Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Обычно в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел. С борелевской сигма-алгеброй связано понятие борелевской функции.

Именно борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения. Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега, но обратное не верно.

Пример измеримого неборелевского множества

Рассмотрим функцию f(x) = \frac{1}{2}(x+c(x)) на отрезке [0,1], где c(x)функция Кантора. На канторовом множестве эта функция равна \frac{1}{2} x, значит, мера образа канторова множества равна \frac{1}{2}, а значит, мера образа его дополнения также равна \frac{1}{2}. Функция f(x) монотонна, значит, она измерима и существует обратная к ней функция. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество A. Тогда образ A при отображении f-1 будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе A было бы измеримо как прообраз борелевского множетсва при измеримом отображении).

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home