Ряд Лорана

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (za), то есть ряд вида

\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

  1. \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n — правильная часть ряда Лорана и
  2. \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-a)^n} — главная часть ряда Лорана.

При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.

Свойства

  • Eсли внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо
D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}
  • Во всех точках своего кольца сходимости D ряд Лорана сходится абсолютно;
  • Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
  • На любом компактном множестве K\subset D ряд сходится равномерно;
  • Сумма ряда Лорана в D есть аналитическая функция f(z);
  • Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в D почленно;
  • Коэффициенты an ряда Лорана определяются через его сумму f(z) формулами
a_n=\frac1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}
где γ(t) = ρexpt, t\in [0,2\pi], r < ρ < R — любая окружность с центром a расположенная внутри кольца сходимости.
  • разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в D, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.

Применение

Применение ряд Лорана основано главным образом на теореме Лорана (1843): любая однозначная аналитическая функция f(z) в кольце

D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}

представима в D сходящимся рядом Лорана. В частности, в проколотой окрестности

D= \{z\in\mathbb C|0<|z-a|<R<\infty\}

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция f(z) представима рядом Лорана, который и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home