Среднее значение функции

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С.з.ф. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), то существует точка c, принадлежащая интервалу (a,b), такая, что f(b) − f(a) = (ba)f'(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С.з.ф. является следующая: если f(x) непрерывна на отрезке f(x), а \varphi(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (a,b) такая, что

\int_a^b f(x) \varphi(x) dx = f(c) \int_a^b \varphi(x) dx.

В частности, если \varphi(x)=1, то

\int_a^b f(x) \varphi(x) dx = f(c) (b-a).

Вследствие этого под С.з.ф. f(x) на отрезке [a,b] обычно понимают величину

\overline{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx.

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home