Таблица интегралов

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но, в отличие от дифференцирования, является нетривиальной процедурой. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных. Более полный список можно найти в статье список интегралов.

C использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Содержание

Правила интегрирования функций

\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx
\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\,dx
\int f(u)\,du = \int f(g(x))g'(x)\,dx,\qquad u=g(x)

Интегралы простых функций

Рациональные функции

см.: Список интегралов от рациональных функций
\int \,dx = x + C
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, если n \ne -1
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C
\int {du \over {a^2+u^2}} = {1 \over a}\arctan {u \over a} + C

Логарифмы

см.: Список интегралов от логарифмических функций
\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

Экспоненциальные функции

см.: Список интегралов от экспоненциальных функций
\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Иррациональные функции

см.: Список интегралов от иррациональных функций
\int {du \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin {u \over a} + C
\int {-du \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arccos {u \over a} + C
\int {du \over u\sqrt{u^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|u| \over a} + C

Тригонометрические функции

см.: список интегралов от тригонометрических функций с список интегралов от обратных тригонометрических функций
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
\int \cos^n x \, dx = - \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \ln \sqrt{1 + x^2} + C

Гиперболические функции

см.: список интегралов от гиперболических функций
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln |\cosh x| + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C

Определённые интегралы

Существуют функции первообразные которых не выражаются в элементарных функциях, но значения определённых интегралов могут быть посчитаны. Несколько полезных определённых интегралов приводятся ниже.

\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}
\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}
\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z) (где Γ(z) — Гамма функция.)
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home